Trou Noir (1/2) : Définition

Ah les trous noirs ! Ces objets merveilleux et pourtant tellement mystérieux. Je suis sûre que vous en avez déjà entendu parler ! Mais que savez-vous vraiment d’eux ? 

Au-delà de ce que vous avez pu apprendre en visionnant Interstellar (le meilleur film de l’Univers… ou au moins de notre galaxie… N’y voyez aucune opinion personnelle !) ?

Ils sont réputés pour être des monstres dévoreurs d’étoiles et de tout ce qu’ils trouvent sur leur chemin. 

Mais est-ce vraiment le cas ou ne sont-ils pas simplement victimes de préjugés ? Quel rôle jouent-ils dans notre Univers ? Et pourquoi sont-ils nommés ainsi ?

Nous allons tenter de répondre à ces questions, et bien plus, ensemble. Mais commençons par essayer de comprendre ce qu’est un trou noir.

Qu’est-ce qu’un trou noir ? 

Un trou noir est un objet céleste extrêmement compact dont l’intensité du champ gravitationnel est tellement élevée qu’il empêche toute matière et tout rayonnement de le traverser. 

Je m’explique : un champ gravitationnel correspond à une zone au sein de laquelle un corps massif exerce une attraction gravitationnelle sur ce qui l’entoure.

Exprimé plus simplement : un objet attire tout ce qui est présent dans ce champ. 

Un peu comme le Soleil pratique une attraction sur la Terre (et inversement, à beaucoup plus petite échelle) ou cette dernière sur la Lune. 

Dans le cas d’un trou noir, cette attraction est extrêmement puissante, en raison de la masse de celui-ci. 

Ainsi, le terme de trou noir vient de cette particularité, qui a pour conséquence que nous ne pouvons pas visualiser directement ces objets, car aucune lumière ne peut en sortir, elle se retrouve prisonnière. Ils sont donc noirs et invisibles. 

Enfin pas complètement, c’est ce que nous allons voir de suite !

Peut-on les observer ? 

Un trou noir étant par définition noir, nous ne pouvons pas le contempler directement. Cependant, et vous vous en doutez, si l’on connaît leur existence c’est forcément parce qu’on a réussi à les percevoir. 

Les astrophysiciens ont mis au point diverses méthodes, toutes indirectes, pour cela. Sachez toutefois que ces techniques nécessitent un matériel non accessible à des particuliers. Un simple passionné d’astronomie ne peut donc pour l’instant pas contempler un trou noir. 

Faisons néanmoins le point sur les procédés développés actuellement pour les repérer. 

Nous l’avons vu, le champ gravitationnel d’un trou noir est extrêmement élevé. Or, lorsque de la matière (étoiles ou autres objets célestes) proche d’un trou noir est soumise à ce champ, cela provoque son échauffement. 

Cela conduit à une dislocation de celle-ci avec émission de rayons X et gamma de très haute énergie. 

Une des premières techniques de repérage d’un trou noir consiste donc à détecter ces ondes qui constituent un signe de la présence potentielle d’un trou noir. 

Par ailleurs, les gaz et poussières résultants de la destruction d’étoiles à proximité des trous noirs forment ce que les scientifiques appellent un disque d’accrétion, repérable par certains télescopes spatiaux. Plus la gravité attire la matière vers le trou noir et plus le nuage tourbillonne autour de celui-ci.

trou noir disque d'accrétion

Disque d’accrétion autour d’un trou noir

Enfin, Einstein, avec sa célèbre théorie de la relativité générale, avait prédit, sans jamais pouvoir le vérifier, l’existence d’ondes gravitationnelles.

Les ondes gravitationnelles

Selon lui, celles-ci seraient produites par un astre massif dont le mouvement s’accélère, ce qui correspond à une caractéristique des trous noirs. En réalité, lui-même ne croyait pas en l’existence de ces derniers. 

Mais figurez-vous qu’en septembre 2015, des chercheurs ont enregistré ces fameuses ondes pour la première fois !!

Presque cent ans auront ainsi été nécessaires pour qu’une des hypothèses d’Einstein soit enfin vérifiée ! Mais les scientifiques y sont parvenus, ce n’est donc pas parce qu’une théorie paraît folle et n’est pas démontrable sur le moment qu’elle est forcément erronée. 

J’imagine que vous voulez savoir comment nous sommes arrivés à capter ces ondes ?  Suivez-moi, je vous montre. 

LIGO

Avez-vous déjà entendu parler du LIGO ? 

Ce joli nom vient de l’anglais Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory (en français Observatoire d’ondes gravitationnelles par interférométrie laser). 

Non, ne partez pas ! Derrière cette appellation barbare se cache un outil incroyable pour la science. D’ailleurs, c’est sans doute l’un des plus complexes jamais réalisés par l’être humain. 

En effet, en 1916, Einstein avait prédit l’existence des ondes gravitationnelles, mais nous ne possédions pas la technologie nécessaire pour les observer et donc aucune preuve matérielle qu’elles étaient réelles. 

En 1992, trois physiciens, Kip Thorne, Rainer Weiss et Ronald Drever fondent le LIGO. Il s’agit d’un projet scientifique qui a pour objectif de détecter des ondes gravitationnelles. 

Le terme LIGO fait en fait référence à deux capteurs, situés sur deux sites différents : l’un à Livingston en Louisiane et un à Hanford dans l’État de Washington. 

En effet, la détection des ondes gravitationnelles demande des mesures si précises et si difficiles à obtenir qu’il faut disposer de plusieurs détecteurs pour la confirmer. 

Mais alors comment fait-on pour enregistrer de tels phénomènes ? 

Selon la théorie d’Einstein, les astres distordent l’espace-temps. C’est cette courbure qui provoque la gravité.

Toujours selon lui, un trou noir pourrait être à l’origine d’un choc (par exemple une collision avec un second trou noir), d’une onde gravitationnelle. Celle-ci déformerait momentanément l’espace-temps, à la manière d’une vague qui courberait la surface de la mer. 

Ainsi, pour mesurer une onde gravitationnelle, il suffirait de détecter une distorsion de l’espace-temps. C’est ce que les scientifiques ont cherché à faire avec le projet LIGO. 

Fonctionnement

Le principe est assez simple à comprendre même si la réalisation de ce projet a nécessité des années de recherches et un travail exceptionnellement minutieux. 

Il repose sur l’utilisation d’un laser, d’un séparateur de faisceau, d’un détecteur de lumière et de deux miroirs. Le laser, qui émet un rayonnement lumineux possédant une longueur d’onde bien précise, se trouve en face d’un séparateur de faisceau et est ainsi scindé en deux rayons.

Ces derniers sont dirigés vers deux miroirs, l’un se situe derrière le diviseur et l’autre lui est perpendiculaire. 

schéma ligoIls sont placés tous les deux à égale distance du diviseur et les rayons lumineux parcourent donc normalement la même distance, je dis normalement, car vous allez voir que la longueur de ce chemin est la clé de la détection. 

Une fois arrivé sur chaque miroir, le faisceau est renvoyé vers le diviseur qui concentre à nouveau les deux rayons en un seul et l’envoie vers le détecteur de lumière situé sur le côté du dispositif. 

 

Une onde lumineuse peut être représentée comme ceci : 

onde sinusoïdale

Vous voyez les crêtes et les creux ? 

onde en opposition de phaseLorsque les deux rayons sont réunis, leurs « crêtes » et leurs « creux » se superposent.Du fait de l’égalité de longueur entre les deux trajets, lorsqu’elles arrivent, les creux de l’une correspondent parfaitement aux crêtes de l’autre et inversement. 

On dit que les deux ondes sont en opposition de phases et les deux signaux s’annulent, le détecteur ne reçoit aucune lumière. 

Mais, dans le cas d’une onde gravitationnelle, la déformation de l’espace-temps modifie la distance parcourue par chacun des rayons. Les ondes arrivent en phase, elles ne se neutralisent plus, on détecte un rayon lumineux. 

ondes en phase

C’est donc le décèlement de lumière qui permet de déterminer qu’une onde gravitationnelle nous est parvenue. 

Dans la réalité…

Vous l’avez vu, le principe est assez simple à comprendre. Cependant, vous devez savoir que pour détecter une déformation de l’espace-temps due à une onde gravitationnelle les scientifiques doivent utiliser du matériel extrêmement précis. 

Et encore, le mot extrêmement est faible ! En effet, il s’agit de détecter une différence de longueur encore plus petite qu’un atome.

Si cela ne vous parle pas, sachez qu’un atome mesure environ 1 dixième de milliardième de mètre ou 100 millionièmes de centimètre si vous préférez. Non, n’essayez pas de prendre votre règle pour regarder, cela ne sert à rien ! 

Tout cela pour dire que c’est vraiment minuscule. Tout doit donc être calculé au cheveu près pour pouvoir détecter un changement aussi faible. Les miroirs, le laser tout l’équipement y passe. 

Les scientifiques qui travaillent là-bas doivent porter des combinaisons, le moindre grain de poussière pouvant entraver le bon fonctionnement de LIGO. 

Ah et autre petit détail… Cela nécessite aussi beaucoup de place… Les deux bras du LIGO mesurent chacun 4 km… Autant vous dire que ce n’est pas un petit dispositif reproductible tranquillement à la maison ! 

En effet, pour pouvoir mesurer un changement de distance aussi faible il faut que la distance de départ soit très grande. Pas trop non plus, car au-delà d’une certaine distance, nous devons combler les courbures de la Terre. 

Eh oui, les miroirs sont orientés de manière très précise pour être parfaitement l’un en face de l’autre. Sauf que la Terre est ronde (n’en déplaise à certains) et donc il faut compenser la courbure de celle-ci pour que les miroirs soient bien face à face. 

ligo

Je vous laisse imaginer le travail que cela a demandé, et que cela demande toujours actuellement, pour faire fonctionner un site pareil.

Mais au fait pourquoi je vous explique tout cela ? 

Eh bien, tout simplement parce que, si ce projet pouvait paraître totalement fou en 1992, c’est bien lui qui a permis le premier enregistrement d’ondes gravitationnelles en 2015. 

Il a certainement fallu beaucoup de conviction à l’équipe de chercheurs d’origine pour convaincre la NSF (National Science Foundation, équivalent du CNRS français, mais aux États-Unis) de le financer.

Onde gravitationnelle détectée en 2015

Maintenant que vous en savez un peu plus sur ce qui a permis de les détecter, vous souhaitez certainement savoir à quoi ces ondes correspondent ? 

Elles auraient été émises lors de la collision de deux trous noirs il y a plus d’un milliard d’années. Cela correspond à l’apparition des formes de vie les plus primitives sur Terre. 

Ce phénomène aurait libéré une énergie 50 fois supérieure à celle de toutes les étoiles de l’Univers. Il a eu lieu entre un trou noir de 29 masses solaires et un second de 36, donnant naissance à un monstre plus gros de 62 masses solaires. 

Je sens qu’il vous reste une dernière question : pourquoi, si cette collision a eu lieu il y a plus d’un milliard d’années, n’avons-nous capté les ondes gravitationnelles qu’elle a causées qu’en 2015 ? 

La réponse est simple, ces ondes voyagent à la vitesse de la lumière et les trous noirs qui ont provoqué ce phénomène se situent très loin de nous, à plus d’un milliard d’années-lumière. Les ondes ont donc mis tout ce temps à nous parvenir. 

Nous sommes donc désormais capables de les détecter. Les trous noirs sont les objets les plus susceptibles d’être responsables de la présence de telles ondes, l’étude de ces phénomènes pourrait ainsi permettre de découvrir de nouveaux trous noirs. 

En attendant que la recherche avance et nous permette un jour d’observer plus aisément ces mystérieux objets, je vous propose un petit tour de ce qu’il se fait en matière de trous noirs.

Les différents modèles de trous noirs 

Avant de commencer, sachez qu’on les classe en plusieurs types. Chacun peut être défini soit par un modèle mathématique, soit par un modèle physique.

Modèles mathématiques

En mathématiques, on peut définir quatre types de trous noirs en fonction de deux paramètres : la charge de celui-ci (qui peut être nulle ou non) et son moment cinétique.

Avant de vous les présenter, je dois vous expliquer un minimum ce que sont la charge, et surtout, le moment cinétique d’un objet. 

Commençons par le plus simple : la charge électrique. 

Si vous avez lu mon article sur les étoiles filantes (sinon c’est par ici), vous savez que la matière se constitue d’atomes et que ceux-ci possèdent autant de charges négatives que positives, ce qui fait d’eux des éléments neutres. 

Eh bien, pour les trous noirs on distingue deux catégories : ceux qui sont neutres (n’ont pas de charge électrique) et ceux qui ne le sont pas (possède une charge électrique qu’elle soit positive ou négative). 

En effet, lorsque l’on parle de LA charge électrique d’un corps, on considère sa charge globale constituée par la somme de toutes les charges positives ou négatives qu’il possède. 

En ce qui concerne le moment cinétique, c’est un peu plus complexe à expliquer et à comprendre. N’étant moi-même pas une experte, je vais simplement tenter de vous définir ce que c’est. 

En mécanique classique, un corps est défini par ce que l’on appelle une quantité de mouvement. Cela correspond au produit de la masse de ce corps par son vecteur vitesse (pour simplifier, nous dirons sa vitesse). Comme son nom l’indique, on l’utilise dans le cadre d’un mouvement, pour décrire celui-ci. 

Tout ce que je vais dire est que le moment cinétique est en quelque sorte l’équivalent de la quantité de mouvement, mais dans le cas d’un mouvement rotatif. 

On peut donc simplifier ici en disant qu’un trou noir possède un moment cinétique s’il est en rotation (et n’en possède donc pas s’il ne tourne pas). 

Maintenant que vous possédez une meilleure idée de ce que sont ces deux paramètres (en tout cas, je l’espère), il est temps de vous présenter les différentes catégories de trous noirs. 

Tout d’abord, sachez que ce sont des modèles théoriques, déterminés à partir d’équations mathématiques. 

D’ailleurs, parmi les quatre types définis, un seul pourrait être observé en astronomie : le trou noir dit de Kerr. Ce trou noir tient son nom du mathématicien Roy Kerr qui modélisa le premier ce genre de trou noir par une formule en 1963. Il se caractérise par un moment cinétique et une absence de charge électrique (il est neutre). 

Comme je vous le disais juste avant, les astrophysiciens pensent que c’est le seul des quatre modèles mathématiques décrits dans cet article qui peut être rencontré dans l’Univers. 

Les trois autres types décrits sont, jusqu’à preuve du contraire, seulement des modèles mathématiques théoriques et ne possèdent ainsi pas vraiment de représentation astronomique. 

Je citerai donc ici simplement leur nom et leurs caractéristiques principales à savoir l’existence d’un moment cinétique et d’une charge ou non. 

Le premier dit de Schwarzschild ne possède ni moment cinétique ni charge électrique. 

Lorsque, à l’inverse du trou noir de Kerr, la charge électrique est non nulle, mais le moment cinétique nul, on parle de trou noir de Reissner-Nordström.

Enfin, le dernier type modélisé, et je pense que vous l’aviez deviné, possède à la fois un moment cinétique et une charge électrique. Il porte le nom de Kerr-Newman. 

Je ne m’attarde pas sur ce classement, car il s’adresse surtout aux scientifiques et ne nous apporte pas grand-chose à nous, amateurs. 

Par ailleurs, comme je vous le disais précédemment, on considère également une deuxième classification des trous noirs, qui encore une fois les distingue en quatre différents types, mais cette fois-ci en fonction de leur masse. 

D’ailleurs, vous entendrez beaucoup plus souvent parler de ces modèles en astronomie que des quatre précédents.

C’est pourquoi nous allons nous arrêter un peu plus longtemps sur ces catégories. 

Modèles physiques 

Vous avez peut-être déjà entendu parler de trous noirs stellaires ou supermassifs. Mais savez-vous ce que signifient ces deux adjectifs ? Et pourquoi on les attribue à des trous noirs ?

Bon je vais vous expliquer, mais c’est uniquement parce que c’est vous !

Les trous noirs stellaires et supermassifs sont deux types de trous noirs. Ils sont classés dans telle ou telle catégorie en fonction de leur masse.

Ce ne sont d’ailleurs pas les seuls modèles physiques qui existent.

Mais nous allons voir cela ensemble. Vous me suivez ?

Trou noir stellaire

Le trou noir stellaire, possède une masse minimum comprise entre 3 et 5 masses solaires (une masse solaire correspondant à la masse de notre Soleil).

Ça, c’était pour le minimum, car tenez-vous bien, le plus massif connu possède quant à lui une masse équivalente à 14 Soleils. 

Et vous verrez plus tard que les trous noirs stellaires sont loin d’être les plus massifs…

Mais pour l’instant, continuons notre découverte.

Formation 

Ce type de trou noir correspond à un « cadavre d’étoile », une étoile en fin de vie qui s’est contractée au point que son champ gravitationnel a subi une énorme augmentation donnant ainsi naissance à un trou noir. 

En effet, tout au long de sa vie, une étoile consomme de l’hydrogène afin de produire de nouveaux éléments chimiques. 

On appelle cette réaction la fusion nucléaire. Dans le cas d’une étoile, on parle plus précisément de nucléosynthèse stellaire.

Nucléosynthèse stellaire : explication 

Plus une étoile est âgée, plus elle formera des atomes dits lourds, l’hydrogène étant l’atome le plus léger. 

Ainsi, une étoile commence par fusionner des atomes d’hydrogène pour former de l’hélium, puis des atomes d’hélium pour former du carbone et ainsi de suite, le dernier atome pouvant être formé par une étoile étant le fer. 

C’est ce phénomène que l’on nomme nucléosynthèse stellaire.

Mort de l’étoile 

La fusion nucléaire est une réaction extrêmement énergétique, elle libère énormément d’énergie. C’est grâce à cela que l’étoile survit aussi longtemps. 

Je m’explique : les étoiles, tout comme nos planètes, sont soumises à la gravité et celle-ci pousse l’étoile à s’effondrer sur elle-même. 

schéma étoile fonctionnement

C’est l’énergie fournie par la nucléosynthèse stellaire qui permet à cette dernière de compenser cette force qui tend à la contracter. 

Néanmoins, au bout d’un certain temps, plus l’étoile est massive et plus il sera court, cette dernière a consommé tout son hydrogène et ne peut donc plus poursuivre sa chaîne de fusions nucléaires. 

L’énergie libérée ne compense donc plus la gravité et l’étoile commence à s’effondrer. C’est ce phénomène, qui concentre toute la masse de l’astre en une zone très petite, qui constitue l’origine des trous noirs. 

Cependant, notez bien que toutes les étoiles en fin de vie ne se transforment pas en trous noirs. Le Soleil par exemple, ne donnera pas de trou noir, car il n’est pas suffisamment massif pour cela. 

Les scientifiques ont d’ailleurs fixé une limite, appelée limite d’Oppenheimer-Volkoff, située à 3,2 masses solaires, en dessous de laquelle une étoile ne donnera pas de trou noir. 

Vous vous demandez peut-être ce que devient donc une étoile qui n’est pas suffisamment massive pour donner un trou noir comme notre Soleil ? 

Une deuxième limite existe, la limite dite de Chandrasekhar, située à 1,44 masse solaire en dessous de laquelle l’étoile deviendra une naine blanche, et au-dessus de laquelle elle donnera une étoile à neutrons.

Le Soleil va donc donner naissance à une naine blanche. Nous consacrerons certainement un article sur la mort des étoiles dans lequel vous en apprendrez plus sur le mécanisme qui conduit à la formation d’une naine blanche notamment. 

Mais revenons à nos moutons (ou plutôt devrais-je dire « à nos trous noirs ») et voyons ensemble le second modèle ! 

Trous noirs primordiaux

Le second type de trous noirs est pour l’instant seulement un type hypothétique, l’existence de tels trous noirs n’ayant pas encore pu être démontrée. 

Ce sont les trous noirs primordiaux qui, contrairement aux trous noirs stellaires, ne seraient pas formés par l’effondrement gravitationnel d’une étoile. 

Une question vous brûle maintenant les lèvres : mais alors comment se seraient-ils créés ? 

Formation 

Ils seraient nés lors de la création de l’Univers.

En effet, d’après la théorie du Big Bang, la température et la pression étaient si importantes à l’origine, qu’une simple modification de la densité de la matière pouvait conduire à un effondrement gravitationnel rapide. 

Et si, avec l’expansion de l’Univers, la plupart de ces régions très denses se sont dispersées, certaines zones, les trous noirs primordiaux, ont pu rester stables. 

Ces trous noirs se seraient donc formés spontanément lors de la création de notre Univers et existeraient pour certains encore aujourd’hui.

Cependant, nous ne possédons aucune preuve à ce jour de l’existence de ces objets.

Ce qui n’est pas le cas du prochain type que nous allons voir ! 

Trous noirs intermédiaires

La troisième catégorie de trous noirs dont nous allons parler est celle des trous noirs dits intermédiaires. Vous allez me dire intermédiaires oui, mais intermédiaires de quoi ? 

Eh bien, ils sont nommés ainsi, car leur masse se situe entre celle des trous noirs stellaires, vus précédemment, et celle des trous noirs supermassifs, que nous présenterons après. 

Oui, mais alors pourquoi avoir créé une troisième catégorie ? On aurait simplement pu dire que ce sont de gros trous noirs stellaires ou des petits supermassifs. 

La raison est simple : ils sont vraiment trop massifs pour appartenir au type stellaire, et mal positionnés pour être qualifiés de supermassifs. 

Je m’explique : les trous noirs intermédiaires disposent d’une masse comprise entre 100 et 10 000 masses solaires. 

Formation

Un trou noir de cette taille ne peut pas s’être formé à partir d’une étoile morte. Rappelez-vous, leurs cousins stellaires possèdent une masse en moyenne dix fois plus faible. 

Ils ne peuvent donc pas faire partie de ce groupe.

Par ailleurs, contrairement aux trous noirs supermassifs, ils ne se trouvent pas au centre d’une galaxie (pas d’inquiétude, nous y reviendrons par la suite). Une troisième catégorie était donc nécessaire.

Exemples

Il est extrêmement difficile de dénicher des informations claires sur d’éventuels trous noirs intermédiaires connus. 

En réalité, on parle surtout pour l’instant de candidats. 

Parmi ces candidats, on découvre NGC1313X-1, une source de rayons X dite ultra lumineuse située dans la galaxie NGC 1313 qui se trouve à environ 13 millions d’années-lumière de la Voie lactée (galaxie qui abrite notre Système solaire).

Cette source pourrait correspondre à un trou noir qui détiendrait une masse de plusieurs milliers de masses solaires. 

Un autre candidat évoqué est M82 X-1 qui posséderait une masse d’environ 400 fois celle du Soleil. 

Pour la petite histoire, le premier trou noir intermédiaire potentiel aurait été découvert en novembre 2004 à seulement 0,4 année-lumière du centre de la Voie lactée et il possèderait une masse équivalente à 1 300 Soleils. 

Vous trouvez que c’est beaucoup ? 

Attendez de voir le prochain type…

Trous noirs supermassifs 

Les trous noirs supermassifs possèdent, comme leur nom l’indique, une masse encore plus élevée. Ils sont pourvus d’une masse pouvant aller de plusieurs millions à plusieurs milliards de masses solaires. 

Oui, on parle bien des chiffres avec six et neuf zéros derrière ! 

Ils sont donc beaucoup, mais alors beaucoup plus massifs que leurs cousins stellaires. 

Je vous avais bien dit que les trous noirs intermédiaires n’étaient pas si gros que cela !

Formation

Pour ce qui est de leur formation, les scientifiques pensent qu’ils se développeraient en absorbant d’autres trous noirs plus petits ou tout simplement en aspirant des étoiles ou autres objets célestes qui se trouvent dans leur champ. 

Oui, je sais, il y a beaucoup de conditionnel dans cet article, mais nos connaissances sur les trous noirs sont encore très faibles malheureusement. 

Vous me direz : « c’est bien beau les hypothèses, mais nous on veut du concret » ! 

Et bien, sachez que nous possédons aujourd’hui la preuve qu’au centre de chaque grosse galaxie se trouve un trou noir supermassif. 

C’est le cas de notre Voie lactée au cœur de laquelle les scientifiques ont découvert la présence de Sagittarius A* un trou noir supermassif

Si vous voulez en apprendre encore davantage sur les trous noirs et découvrir, entre autres, Sagittarius A*, je vous donne rendez-vous dans la seconde partie. 

Au programme, une petite description de notre trou noir central, une présentation de certains trous noirs connus et un voyage à la vitesse de la lumière à la rencontre d’un trou noir. 

En attendant de monter à bord de notre navette pour une expédition étourdissante, gardez la tête dans les étoiles ! 

Cet article est essentiellement fondé sur des recherches personnelles dans des livres et magazines scientifiques ainsi que des documentaires. Il est néanmoins possible que certaines informations ne soient pas tout à fait exactes ou qu’elles soient incomplètes, si vous en voyez nous tenons à nous excuser et nous serions ravies que vous nous le fassiez savoir dans les commentaires.

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